Но посмотрим на другую математическую характеристику - вероятность удержания лидерства, т.е. получения положительных результатов со старта. Большинство игровых систем устроены так, что на начальной фазе игры эта вероятность существенно превышает 50%. Поначалу, скорее всего, вы будете выигрывать и, возможно, достаточно долго. Самый яркий пример - мартингейл, основанный на принципе удвоения ставки в случае проигрыша.

Если приверженец мартингейла имеет значительный начальный капитал, то вероятность удержания лидерства в начале игры настолько велика, что отрицательное математическое ожидание остаётся... именно ожиданием. Но, как уже говорилось, риск поражения "банкира" (риск очень серьёзный) нивелируется ограничениями на верхний предел ставки, которые существуют в каждом казино. Поэтому игроки стали придумывать менее агрессивные системы.

Возникает естественный вопрос: как долго продолжается лидерство игрока в подобных системах и какая картина возникает после достаточно большого числа испытаний? Чтобы не утомлять читателя громоздкими выкладками, забудем пока о рулетке и рассмотрим совсем простую игру. "Банкир" подбрасывает игральную кость, т.е. кубик, грани которого пронумерованы от 1 до 6. Если выпадает "1", вы платите $5, в остальных случаях вы получаете доллар от банкира. Как говорят математики, это игра с нулевой суммой: математические ожидания выигрыша игрока и банкира равны 0. Но в отличие от обычной орлянки, "стартовая" вероятность лидерства игрока выше 50%. Здесь вполне можно обойтись без хитрых систем: правила игры сами по себе относятся к вам "заботливо". А теперь взгляните, пожалуйста, на таблицу. Там приведены вероятности ваших успехов (с точностью до сотых) после каждого из первых 20 бросков кубика.

Игра в кубик.

Вероятности результатов игрока в зависимости от числа бросков кубика:

Если представить себе график вероятности сохранения лидерства в зависимости от числа испытаний, то он был бы похож на затухающую синусоиду. Она колеблется вокруг 50%-ной отметки, а "пики" приходятся на 1-ое, 7-ое, 13-ое испытания и далее чередуются через 6 (число граней кубика). Нетрудно представить, что было бы, если кубик имел бы не 6, а несколько тысяч граней. (Чтобы поиграть в такой кубик, не надо расставаться с родным 3-мерным пространством, его очень легко смоделировать на компьютере.) "Период" колебаний нашей синусоиды стал бы огромным, а начальная фаза игры, на которой игрок, скорее всего, одерживал бы верх, была бы чрезвычайно длительной. Эта картина очень напоминает то, что происходит при использовании систем типа мартингейл. Что и говорить, заманчивая игра...

Мы получили довольно неплохую иллюстрацию принципа. Дело в том, что та или иная затухающая синусоида свойственна всем игровым системам, обеспечивающим высокую "стартовую" вероятность лидерства. "Томас Дональд" - не исключение, хотя количественные характеристики здесь, конечно, другие. Мы, правда, совсем забыли о zero. Zero будет "давить" на нашу синусоиду сверху, она уже не будет колебаться около 50%-ной отметки и рано или поздно, извиваясь, уйдёт вниз - в ту самую пропасть, о которой говорилось выше.

Качественная картина получена, но что дальше? Что всё-таки дают нам игровые системы?

Во-первых, налицо позитивный психологический фактор: у игрока появляется ощущение, что он действует не наобум, а "систематически". Но захват лидерства на ранней стадии игры имеет ещё одно бесценное преимущество: к выигрывающему приходит хорошее настроение. Его отношение к деньгам нередко становится лёгким, а лёгкость - это именно то, что любит Фортуна. Таинственную связь между отношением к деньгам и благосклонностью Фортуны замечали многие: вспомним завет Н.А.Некрасова - относиться к деньгам, ассигнованным на игру, так, как будто их уже нет; вспомним поговорку "Везёт дуракам и пьяным"; вспомним примету - новичкам везёт... Дураков, новичков, пьяных и... профессиональных игроков объединяет именно лёгкость по отношению к деньгам.

Конечно, лёгкое отношение к деньгам можно в себе воспитывать, можно даже с этим родиться, но это не всегда получается. Игровые системы служат здесь незаменимым помощником, и в этом - их главный и абсолютно реальный смысл. Фортуна часто идёт навстречу "лёгкому" игроку, и страшный миг расплаты с "банкиром" почему-то отодвигается. Этот непознанный пока закон отмечали очень многие выдающиеся игроки. Они знают, что этот закон существует, и в этом аспекте практически единодушны.

Как действует любая система? Попробуем подойти к вопросу критично: рассмотрим несколько известных систем и подвергнем каждую из них строгому математическому анализу. В первую очередь зададимся вопросом: может ли математика помочь в принципе? Представьте, что вы хотите выиграть у меня в орлянку. Неважно сколько, допустим, $1. Можете ли вы выиграть наверняка? Ответ: в реальной жизни - да, можете, но при соблюдении двух условий:

1. Если я приму ваши правила игры;

2. Если у вас есть значительный капитал, позволяющий играть по определённой системе.

Вы предлагаете мне бросить монетку и ставите $1 на то, что выпадет орёл. Если выиграли, цель достигнута, и игру можно сразу прекращать. Если выпала решка, вы ставите снова, но уже $2 - на то, что выпадет орёл. Если во второй раз выпал орёл, то вы по результату двух бросков выиграли доллар. Если же снова выпадает решка, вы ставите $4... И так до тех пор, пока хотя бы раз не выпадет орёл.

Какова вероятность того, что орёл не выпадет никогда? Давайте посчитаем. Вероятность того, что орёл не выпадет первым же броском, составляет 1/2. Вероятность того, что орёл не выпадет ни первым, ни вторым броском - (1/2)2 или 1/4. Дальше вероятность уменьшается в геометрической прогрессии. Из трёх бросков - 1/8, из четырёх - 1/16... из десяти - 1/1024. Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз за десять бросков, составляет более 99,9%.

Можно ли утверждать, что вы выиграете у меня в такую игру $1? Конечно, можно: вероятность 0,999 близка к стопроцентной. Но для этого нужно, во-первых, чтобы я согласился играть на таких условиях, а во-вторых, иметь достаточный запас денег: ведь к десятому броску, если орёл не выпадет раньше, вы уже уплатите мне 511 долларов (1+2+4+8+16+32+64+128+256), а величина ставки в десятом броске составит 512 долларов.

С рулеткой дело обстоит точно так же, если вы ставите на так называемые равные шансы: красное-чёрное, чёт-нечет, больше-меньше. Разница лишь в том, что вероятность выпадения каждого из этих шансов составляет чуть меньше половины - не 1/2, а 18/37 (за счёт того, что на рулетке есть zero).

Попробуем рассчитать ту же стратегию для нескольких последовательных ставок. Предположим, вы ставите только на красное. Вероятность того, что красное не выпадет первым броском (запуском рулетки), составляет 19/37 или 0,513513. Вероятность того, что красное не выпадет ни первым, ни вторым броском, - (19/37)2 или 0,263696.

На этом принципе последовательного увеличения ставки в случае проигрыша основано большинство систем игры в рулетку, самая известная из которых носит название "Мартингейл" . Точнее сказать, мартингейлом следует называть не систему, а сам принцип, потому что на этом принципе построено бесчисленное множество систем игры. Одни исповедуют увеличение ставок при проигрыше, другие, наоборот, при выигрыше, третьи применяют более сложные комбинированные схемы. Подробнее об этом см. раздел "Системы игры в рулетку".

Чуть позже мы рассмотрим детально несколько самых интересных систем и проведём их испытания в "условиях, приближенных к боевым". Забавно, что слово "мартингейл" имеет целых четыре разных значения (часто говорят "мартингал", но разнобой лежит на совести переводчиков, обращавшихся с английским словом martingale достаточно вольно). В исконном смысле это часть упряжи, мешающая испуганной лошади закидывать голову назад. Так же называли хлястик пальто или шинели. На одноимённые игровые системы тоже возлагали "сдерживающие" функции: они должны были спасать растерявшегося игрока от обвала. И наконец, в начале ХХ в. известный математик Поль Леви, изучавший парадоксы азартных игр, ввёл строгий и сложный термин "мартингал" в теорию вероятностей.

Любопытно также, что для множества систем, основанных на принципе "мартингейл", существует общее собирательное название "системы д'Аламбера", данное как бы в насмешку. Великий французский математик и энциклопедист Жан д'Аламбер, напротив, считал ошибочным применять так называемый "закон равновесия" в игровых системах, поскольку закон справедлив только для непрерывного и бесконечного ряда событий, в то время как любая игра состоит из конечного числа испытаний, ограничена временным фактором и человеческим восприятием.

Как казино борется с системами

Результат, полученный нами, можно считать обнадёживающим: вероятность выиграть при ставке на равные шансы - почти 99%. Совсем неплохо для игры в казино - можно рискнуть. Вся беда заключается в том, что нам с вами не дадут применить на практике столь блестящий способ обогащения. Игорное заведение имеет простой способ не допустить превращения игры в скачку со ставками, где крупный игрок был бы практически "обречён" на выигрыш. Верхний предел ставок в казино ограничивается.

В любом казино мира на каждом столе, будь то рулетка, блэкджек, покер, или другие азартные карточные игры вы увидите таблички, на которых будут указаны размеры минимальной и максимальной ставки на данном столе. Разница между ними может быть в 10, 30 или даже в 100 раз. Но нигде вам не позволят увеличивать ставку неограниченно.

Обратите внимание, в самом ограничении верхнего предела ставок можно обнаружить доказательство того, что система, основанная на принципе увеличения ставок, представляет для казино опасность. Возьмите для примера любой стол. Например, такой, на котором минимальная ставка $25, а максимальная - $1000. Как вы думаете, почему вам не хотят разрешить поставить больше $1000? Думаете, у них не хватит денег рассчитаться? Или они боятся, что вы выиграете и убежите с деньгами домой? Но в соседнем VIP-зале вы можете сделать ставку $2000 и даже $10000! Если же вы особо крупный игрок, вы можете оговорить с администрацией казино и более высокие ставки. Денег, скорее всего хватит. Дело в другом - в соотношении максимума и минимума. Там, где установлен максимум $10000, минимальная ставка будет вряд ли меньше $250. Никто не хочет разрешить удваивать больше 5 раз. Иначе ваши шансы стали бы непозволительно высоки.

Учитывая это ограничение казино, различные системы игры, разработанные в разное время, выстраивают стратегию изменения величины ставки в относительно небольшом диапазоне. Чтобы ставка подольше умещалась между максимумом и минимумом, пришлось перейти от геометрической прогрессии - к арифметической, т.е. увеличивать ставку не во сколько-то раз, а на столько-то единиц.

Рассмотрим одну из таких систем, носящую имя своего автора.

Система Томас Дональд

Основные положения этой системы следующие: Для игры нужно иметь капитал в 3000 раз больше условно принятой вами начальной ставки. Каждый раз, проиграв ставку, очередную нужно увеличить на одну ставку. Выиграв ставку, очередную нужно уменьшить на одну ставку. Система основана на положении, принимаемом автором, что в течение определённого отрезка времени - дня, недели, месяца, года - число проигрышей и выигрышей приблизительно равно. Автор обещает выигрыш, если игрок будет пользоваться его системой в течение таких отрезков времени, при соблюдении ещё двух дополнительных правил: не играть, если не можете свободно распоряжаться временем в течение выбранного вами срока или деньгами в пределах суммы, в 3000 раз превышающей принятую вами ставку.

Попробуем проверить, как бы сработала система "Томас Дональд" на практике.

Допустим, мы всегда ставим на красное, начальная ставка - $1. Предположим, что из 37 запусков рулетки красное выпадает 18 раз, столько же раз - чёрное, и 1 раз - zero. Пусть красное и чёрное чередуются таким образом: 5 раз красное, 5 раз чёрное, 4 раза красное, 4 раза чёрное, 3 раза красное, 3 раза чёрное, 2 раза красное, 2 раза чёрное, дальше через 1.

Обратите внимание, по результату мы сыграли вничью, хотя выигрышей у нас было на 1 меньше, чем проигрышей. К тому же, чередование красного и чёрного оказалось для нас очень невыгодным: первые 5 раз мы выигрывали всего по $1. Если бы чередование началось с пяти чёрных, то следующие 5 выигрышей принесли бы не $5, а $20 (6+5+4+3+2).

Модификация Томаса Дональда - система Дональд-Натансон

В наши дни старинная система Томас Дональд подверглась критическому пересмотру со стороны серьёзного математика Льва Натансона. Он рассуждал следующим образом: Я всегда ставлю на красное. Допустим, начальная ставка - 1 доллар. После выпадения чёрного я увеличиваю ставку на единицу, а после выпадения красного - уменьшаю на единицу. Но что мне делать, если я поставил доллар на красное и выиграл? Согласно Т.Дональду, ставка должна оставаться неизменной, т.к. ни нулевых, ни отрицательных ставок не бывает. А собственно, почему? - подумал математик. И попробовал: получилось весьма интересно.

Чтобы не отступать от канонов системы, после ставки на красное и выигрыша, ставку нужно уменьшить на единицу. Если вы ставили $1, следующая ставка должна быть равна нулю. Что такое нулевая ставка, понятно: очередной запуск рулетки вы просто пропускаете. Но при этом ноль именно на красное и внимательно следите за тем, что выпадет, - чтобы знать, как поставить в следующий раз. Допустим, опять выпало красное. Вы выиграли и должны снова уменьшить ставку. Следующая ставка (по системе) должна равняться -1 (минус единице). А что такое отрицательная ставка на красное? Это - ставка на чёрное! Что бы ни случилось в дальнейшем, правило только одно: при выпадении чёрного ставка увеличивается, при выпадении красного - уменьшается.

Пусть, например, при трёх первых запусках рулетки всё время выпадает красное. После первого запуска мы выиграли $1, во второй раз "ставим нуль", а в третий - минус $1 (доллар на чёрное). Перед четвёртым запуском мы должны опустить ставку до минус $2. Ставим $2 на чёрное.

Можно доказать, что если из 2N запусков рулетки красное и чёрное выпадают по N раз, то выигрыш составит ровно N первоначальных ставок. Независимо от числа выпадений красного (и соответственно, чёрного) выполняется "свойство инвариантности": последовательность, в которой красное чередуется с чёрным, на размер выигрыша не влияет. Предположим, рулетка запущена 36 раз. Ваш доход (положительный или отрицательный) показан в таблице.

Например, если красное выпало 20 раз, то при исходной ставке $1 выигрыш составит $14. Если красное выпало только 17 раз, вы также выиграете $14. Любопытно, что распределение дохода симметрично относительно середины таблицы. В таблице отражены только те случаи, когда частоты выпадения красного и чёрного отличаются незначительно (при других "раскладах" вы крупно проиграете). Именно на близость этих частот и рассчитывал Т.Дональд. Натансон лишь пошёл по его стопам и "усугубил" систему.

Чтобы завершить картину, вспомним о zero. По Т.Дональду, при выпадении zero следующую ставку надо увеличивать. В модификации Натансона её надо увеличивать по модулю. Иными словами, если ставка положительна, её следует поднять на единицу, если отрицательна - опустить. К сожалению, появление zero нарушает красивое свойство инвариантности, и определить ваш доход однозначно не удаётся. Ограничимся случаем, когда из 36 запусков рулетки zero выпадает ровно один раз.

Пусть при выпадении zero ставка была положительной. Тогда zero полностью эквивалентно чёрному, поэтому доход определяется по той же таблице, что и раньше. Например, при 20 выпадениях красного, 15 чёрного и 1 zero выигрыш составит $14. Только не думайте, что zero ни на что не влияет: оно уменьшает ожидаемое число выпадений красного.

Zero может выпасть и при отрицательной ставке. Теперь оно эквивалентно красному. Если красное выпало 20 раз, то из-за zero число его появлений фактически равно 21. Вместо $14 (согласно таблице) мы фактически выигрываем только 6. Зато если красное выпало менее 18 раз, ваш доход возрастает.

И наконец, zero может появиться при нулевой ставке. Можно поступить как угодно: при подъёме ставки zero будет эквивалентно чёрному, при уменьшении - красному. Но всё же посмотрите на предысторию: если красное выпадало чаще, чем чёрное, стоит увеличивать ставку, если реже - наоборот. Таким образом вы как бы сближаете частоты выпадения обоих цветов.
Господин Дональд был бы доволен.